Avez-vous une chance de gagner à la loterie

Les mathématiques aideront à calculer la probabilité de gagner et à déterminer ce qui est le plus rentable: achetez 10 billets de loterie pour un jeu ou un billet pour 10 jeux différents.

Denis Peshekhonov

Par son éducation, un maître-technicien, dans la vie, il est engagé dans le développement de programmes et construit parfois des modèles mathématiques pour les jeux.

Dans la série américaine « 4isla » (Numb3rs), le personnage principal est un mathématicien qui aide le FBI à résoudre ses crimes. Dans l’une des séries, il déclare que la probabilité d’être tué en cours de route pour un billet de loterie est supérieure à la probabilité de gagner à la loterie. À la fin de l’article, je donnerai un calcul lié à cette affirmation, mais je voudrais maintenant parler un peu des mathématiques derrière le jeu massif et de la manière dont cela peut contribuer à augmenter légèrement mes chances.

Règle 1. Évaluer les risques

Pour un éclairé moderne, il n’est pas un secret pour personne que les casinos et divers établissements de jeux calculent tous leurs jeux de telle sorte qu’ils gagnent toujours et réalisent des bénéfices. Cela se fait très simplement: une personne doit restituer ses gains, ce qui correspond à sa mise dans une direction plus petite par rapport à ses chances de gagner.

Oui, d’une manière ou d’une autre, même les modèles mathématiques les plus complexes se résument en moyenne à une chose: si vous misez 1 rouble et que l’on vous propose de gagner 1 000 roubles, votre chance de gagner est alors inférieure à 1/1 000.

Il n’y a pas d’exception, à moins que quelqu’un veuille spécifiquement vous donner de l’argent. Gardez cette règle simple à l’esprit pour toujours rester sobre face à la situation.

La théorie des jeux évalue toute stratégie de la même manière: la probabilité de gagner est multipliée par sa taille. En gros, les mathématiques estiment qu’il est garanti d’obtenir 1 000 roubles – c’est ainsi que vous obtiendrez 2 000 roubles avec une chance de 50%. Ce principe vous donne la possibilité de comparer approximativement différents jeux les uns avec les autres. Quel est le meilleur: un million de dollars avec une chance de 1/100 000 ou 50 dollars avec une chance de 1/4? Intuitivement, la première phrase semble être plus intéressante, mais mathématiquement plus rentable que la seconde.

Si vous restez dans le seul cadre des mathématiques, vous pouvez calculer: il est impossible de gagner au casino, car toute stratégie choisie conduit au fait que le produit de la probabilité de gagner le gain du joueur est toujours inférieur au pari qu’il a déjà placé.

Cependant, les gens jouent parce que le gain pour eux ne réside pas seulement dans l’argent, mais aussi dans les émotions suscitées par le processus – et plus encore par la victoire.

Et aussi parce que l’argent n’est pas linéaire pour nous: obtenir officiellement 1 rouble équivaut actuellement à recevoir un million de roubles avec une chance sur 1/1 000 000, mais en fait, la perte du rouble n’affectera pas notre condition, rien ne changera dans la vie, et obtenir un million est un événement très grave.

Règle 2. Jouer ouvert

Malheureusement, nous ne pouvons pas entrer dans la cuisine intérieure de la loterie. Mais il est utile de comprendre au moins la procédure formelle du déroulement du rassemblement.

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Par exemple, les fameuses machines à sous One-Armed Bandit et d’autres machines à sous sont en fait un canular: sur le volant, le joueur voit dessiner des symboles de valeurs différentes, mais tout est arrangé pour que le joueur pense qu’il y a une chance de tomber de chaque symbole le même. En fait (dans les vieilles machines – mécaniquement et dans les modernes – avec l’aide d’un programme), chaque roue visible cache un cadeau sur lequel on trouve rarement des symboles de valeur et des symboles bon marché.

Les chances de tomber 777 sur une machine à sous sont inférieures à la probabilité d’obtenir trois cerises, et la différence peut être des dizaines de fois.

Les loteries « ouvertes » dans ce sens sont beaucoup plus honnêtes. Aux États-Unis, le format est répandu lorsque le ticket contient une séquence de nombres ou est choisi par l’acheteur de manière indépendante. En Russie, par exemple, ils préfèrent le format loto: le ticket comporte plusieurs lignes de chiffres et vous devez fermer l’une d’entre elles (victoire ordinaire) ou toutes (jackpot). En théorie, une société de loterie peut «spécialement» imprimer et vendre des billets non gagnants, puis jongler avec l’ordre des balles, mais dans la pratique les grandes entreprises ne le font pas: les organisateurs de la loterie sont toujours gagnants et le scandale en cas de malhonnêteté sera énorme.

Si vous avez l’intention de jouer à un jeu de hasard, il sera utile de comprendre ses mécanismes et de s’assurer que les parties intéressées n’ont aucune influence sur les résultats.

Règle 3. Connaissez vos chances

La probabilité d’un jackpot dans une loterie est considérée, en règle générale, comme une formule. Mais le calcul de la probabilité, par exemple, de fermer au moins une ligne du loto est très simple et prendrait un article entier ou peut-être pas un. Par conséquent, la chance d’obtenir de l’argent à la loterie est plus grande du fait que dans la plupart des loteries, il y a des prix supplémentaires en plus du lot principal. Mais je vais me concentrer sur le jackpot pour faciliter l’évaluation.

Disons que nous avons acheté un billet de loterie avec un ensemble aléatoire de numéros. Pendant le tirage au sort, autant de balles sont retirées, et si les numéros sur celles-ci coïncident avec les numéros sur le ticket (dans n’importe quel ordre, c’est important!), Alors nous avons gagné. La probabilité d’un tel gain est calculée comme suit:

Probabilité de victoire = 1 ÷ Nombre de combinaisons de billes.

Le nombre de combinaisons sans tenir compte de l’ordre s’appelle le nombre de combinaisons en mathématiques, et si vous connaissez et comprenez la formule de calcul, vous ne pourrez probablement rien apprendre de nouveau à partir de cet article. Si vous n’êtes pas mathématicien, il sera plus facile d’utiliser un service en ligne, par exemple celui-ci. Des services similaires (et la formule sous-jacente à leur travail) proposent de définir deux chiffres:

  • n est le nombre total de variantes possibles d’un sujet. Dans notre cas, un article est une balle, et il y a autant de boules que de numéros dans la loterie, plus à ce sujet ci-dessous.
  • k est le nombre d’éléments dans un échantillon. Dans notre cas, combien de boules la loterie joue et combien de numéros sont sur le ticket (on suppose que ces valeurs sont égales).

Donc, si nous avons une loterie avec un tirage au sort de 5 boules et qu’il y a au total 50 boules dans la loterie avec des nombres de 1 à 50, alors la probabilité de la gagner sera égale à une dans le nombre de combinaisons avec k = 5 et n = 50, c’est-à-dire:

1 × 2 118 760 = 0,00005%.

Prenons un cas plus complexe: la populaire loterie américaine PowerBall, dans laquelle le jackpot dépasse un milliard de dollars. Selon les règles, il existe un échantillon de base de 5 numéros (de 1 à 69), ainsi qu’un nombre supplémentaire (de 1 à 26). Pour gagner, vous devez faire correspondre les 6 numéros.

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Il est facile de comprendre que la chance d’obtenir le premier set est égale à une dans le nombre de combinaisons pour k = 5 et n = 69 (c’est-à-dire 11 238 513), et la chance de «rattraper» la dernière balle est de 1 à 26. Pour tout obtenir en même temps, vous devez multiplier ces chances. , car les événements doivent se produire simultanément:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0,0000003%.

En d’autres termes, si 300 millions de personnes achètent des billets, on gagnera. Cela montre pourquoi le jackpot n’est souvent pas gagné du tout: les organisateurs de la loterie n’impriment tout simplement pas autant de billets pour en obtenir un gagnant.

Règle 4. Commencez à l’heure

Le billet de loterie PowerBall, en passant, coûte 2 $. Pour calculer l’avantage qu’aurait un achat de billet, vous devez multiplier le prix du billet par 292 201 338.

Vous devez également prendre en compte les taxes (pour savoir quel pourcentage du montant déclaré ira réellement au gagnant, généralement environ 70%). C’est-à-dire que le jackpot devrait être d’au moins 850 millions de dollars, et cela se produit dans cette loterie. Comment se fait-il qu’au début, j’ai dit que gagner avec une telle multiplication n’est toujours pas en faveur du joueur?

Le fait est que si le jackpot n’a pas eu lieu, il sera transféré la prochaine fois et, par conséquent, pendant un certain temps, de l’argent s’accumulera et la vente des billets se poursuivra.

Dans une situation idéale, vous devez sauter tous les jeux sans acheter de billet, puis acheter exactement le jeu dans lequel se déroule réellement le rallye.

Mais connaître cela à l’avance est impossible. Cependant, vous pouvez commencer à acheter des billets dès que le jackpot dépasse le montant indiqué. Mathématiquement, le jeu sera rentable.

Vous pouvez également comprendre ce qui est plus rentable: acheter plusieurs billets pour un jeu ou acheter un billet pour plusieurs jeux? Réfléchissons.

Dans la théorie des probabilités, il y a le concept d’événements non liés. Cela signifie que le résultat d’un événement n’affecte pas le résultat d’un autre. Par exemple, si vous lancez deux dés, les numéros ne sont pas interconnectés: du point de vue du hasard, un dé n’affecte pas le comportement du second. Mais si vous tirez deux cartes du paquet, ces événements sont connectés, car la première carte détermine quelles cartes resteront dans le paquet.

Une idée fausse populaire à ce sujet s’appelle erreur d’un joueur. Il découle de la compréhension intuitive d’une personne à propos de la connexité d’événements sans rapport.

Par exemple, si un aigle laisse tomber une pièce de monnaie plusieurs fois de suite, nous avons alors tendance à croire que les chances de tomber diminuent à cause de cela, mais en fait il n’en est rien, les chances sont toujours les mêmes.

Revenir aux loteries: les différents jeux sont des événements sans lien, car la séquence de boules est sélectionnée à nouveau. Ainsi, les chances de gagner à une loterie ne dépendent pas du nombre de fois où vous avez joué auparavant. Il est très difficile d’accepter intuitivement, car chaque fois qu’une personne achète un billet, elle se dit: «Maintenant, je vais avoir la chance autant que possible, je joue beaucoup de temps!». Mais non, la théorie des probabilités est une chose sans cœur.

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Mais acheter plusieurs billets pour un match augmente vos chances proportionnellement, car les billets d’un jeu sont liés: si l’un gagne, l’autre (avec une combinaison différente) ne gagnera certainement pas. L’achat de 10 billets augmente les chances de 10 fois si toutes les combinaisons sur les billets sont différentes (en fait, c’est presque toujours le cas). En d’autres termes, si vous avez de l’argent pour 10 billets, il est préférable de les acheter pour un jeu que d’acheter un billet pour 10 jeux.

Après votre clarification dans les commentaires, il sera juste de dire que la probabilité de gagner au moins un jeu dans une série de N jeux est supérieure à la probabilité de gagner dans un jeu spécifique. Cependant, elle a encore un peu moins de chances que de gagner en achetant des billets pour un match de N, mais l’écart est assez petit.

Si vous prenez juste un ticket d’excitation pour gagner un salaire une fois par mois, alors le processus du jeu est probablement important pour vous. Il est mathématiquement plus rentable d’accumuler cet argent et d’acheter 12 billets à la fin de l’année, bien que, bien sûr, les pertes dans une telle situation soient perçues de manière plus dévastatrice.

Règle 5. Stop in time

Enfin, je tiens à dire que même la probabilité de 1/100 du point de vue d’un individu est très faible. Si vous vérifiez cette probabilité une fois par mois, 100 de ces vérifications seront effectuées en 8 ans. Imaginez combien de fois la probabilité de 1/1 000 000 ou de 1/100 000 000 est inférieure? Par conséquent, pariez toujours uniquement sur le montant que vous n’avez pas peur de perdre complètement, et non sur un rouble de plus.


En conclusion, comme promis, je donnerai une évaluation de la déclaration du début de l’article. Ces données concernent les États-Unis, car la déclaration a été formulée spécifiquement pour ce pays. En outre, nous avons déjà calculé les chances pour la loterie américaine ci-dessus.